圆锥曲线综合经典题型一:定值问题

栏目: 征文稿 来源:精英教育网 时间:2020-07-29 09:14:20 阅读: 圆锥曲线 题型 定值

内容摘要:圆锥曲线综合经典题型一:定值问题1.已知椭圆222210xyCabab: 离心率等于12

 圆锥曲线综合 经典 题型一:定值问题 1.已知椭圆  2 22 21 0x yC a ba b    :

 离心率等于12,   23 P , 、   2, 3 Q  是椭圆上的两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)

 , A B 是椭圆上位于直线 PQ 两侧的动点.当 , A B 运动时,满足 APQ BPQ   ,试问直线 AB 的斜率是否为定值?如果为定值,请求出此定值;如果不是定值,请说明理由. 2.已知 A 为椭圆 12222 byax  0  b a 上的一个动点,弦 AC AB, 分别过左右焦点2 1F F, ,且当线段1AF 的中点在 y 轴上时,31cos2 1  AF F . (Ⅰ)求该椭圆的离心率; (Ⅱ)设 C F AF B F AF2 2 2 1 1 1,     ,试判断2 1   是否为定值?若是定值,求出该定值,并给出证明;若不是定值,请说明理由. 3.已知椭圆2 22 21( 0)x ya ba b    ,(2 0) A , 为椭圆与 x 轴的一个交点,过原点 O 的直线交椭圆于 , B C 两点,且• 0 AC BC , 2 BC AC  . (1)求此椭圆的方程; (2)若   , P x y 为椭圆上的点且 P 的横坐标 1 x ,试判断 •PB PCk k 是否为定值?若是定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.

  4.如图,点   2,0 A  ,   2,0 B 分别为椭圆  2 22 2: 1 0x yC a ba b    的左右顶点,, , P M N 为椭圆 C 上非顶点的三点,直线 , AP BP 的斜率分别为1 2, k k ,且1 214k k   ,// AP OM , // BP ON .

  (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)判断 OMN  的面积是否为定值?若为定值,求出该定值;若不为定值,请说明理由. 5.已知椭圆 C :2 22 21( 0)x ya ba b    .

 (1)若椭圆的离心率为12,且过右焦点垂直于长轴的弦长为 3 ,求椭圆 C 的标准方程; (2)点( ,0) P m为椭圆长轴上的一个动点,过点 P 作斜率为ba的直线 l 交椭圆 C 于 A ,B 两点,试判断2 2PA PB  是为定值,若为定值,则求出该定值;若不为定值,说明原因. 6.已知点 P 在圆 : O2 29 x y   上运动,点 P 在 x 轴上的投影为 Q ,动点 M 满足4 3 2 PQ MQ   . (1)求动点 M 的轨迹 E 的方程; (2)设         3,0 , 3,0 G H   ,过点   1,0 F 的动直线 l 与曲线 E 交于 , A B (不同于 , G H )两点.问:直线 AG 与 BH 的斜率之比是否为定值?若为定值,求出该定值;若不为定值,试说明理由. 7.已知椭圆2 22 2: 1( 0)x yC a ba b    上的点到两个焦点的距离之和为23,短轴长为12,直线 l 与椭圆 C 交于 M 、 N 两点. (1)求椭圆 C 的方程;

  (2)若直线 l 与圆2 21:25O x y   相切,探究 MON  是否为定值,如果是定值,请求出该定值;如果不是定值,请说明理由. 8.已知椭圆  2 22 21 0x ya ba b    的四个顶点围成的菱形的面积为 4 3 ,椭圆的一个焦点为圆2 22 0 x y x    的圆心.

 (1)求椭圆的方程; (2)若 M,N 为椭圆上的两个动点,直线 OM,ON 的斜率分别为1 2, k k ,当1 234k k   时,△ MON 的面积是否为定值?若为定值,求出此定值;若不为定值,说明理由. 9.已知椭圆2 22 2: 1( 1)x yE a ba b    的离心率22e  ,其左、右顶点分别为点, A B ,且点 A 关于直线 yx 对称的点在直线3 2 y x  上. (1)求椭圆 E 的方程; (2)若点 M 在椭圆 E 上,点 N 在圆2 2 2: O x y b   上,且 , M N 都在第一象限,MN y  轴,若直线 MA MB 、 与 y 轴的交点分别为 CD 、 ,判断 sin CND  是否为定值,若是定值,求出该定值;若不是定值,说明理由. 10.已知椭圆 C :2 22 21( 0)x ya ba b    的离心率为22,且过点2 3( , )2 2P,动直线 l :

 ykx m  交椭圆 C 于不同的两点 A , B ,且0 OA OB  ( O 为坐标原点). (1)求椭圆 C 的方程; (2)讨论2 23 2 m k 是否为定值?若为定值,求出该定值,若不是请说明理由.

 参考答案 1.解:(1)椭圆 C 的方程为2 2116 12x y  ; (2)设 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ), 当∠APQ=∠BPQ,则 PA、PB 的斜率之和为 0,设直线 PA 的斜率为 k, 则 PB 的斜率为﹣k,直线 PA 的直线方程为 y﹣3=k(x﹣2), 联立 2 22 3116 12y k xx y    ,得(3+4k 2 )x 2 +8k(3﹣2k)x+4(3﹣2k)

 2 ﹣48=0. ∴ 128 2 323 4k kxk .同理直线 PB 的直线方程为 y﹣3=﹣k(x﹣2), 可得   22 28 2 3 8 2 323 4 3 4k k k kxk k      .∴21 2216 123 4kx xk ,1 22483 4kx xk ,      1 2 1 21 21 2 1 2 1 22 3 2 3 4ABk x k x k x x k y ykx x x x x x            22216 12413 44823 4kk kkkk  , ∴AB 的斜率为定值12.

 2.解:

 (Ⅰ)当线段1AF 的中点在 y 轴上时, AC 垂直于 轴,1 2AFF  为直角三角形. 因 为1 21cos3F AF   , 所 以1 23 AF AF  , 易 知22bAFa , 由 椭 圆 的 定 义1 22 AF AF a   . . (Ⅱ)由(Ⅰ)得椭圆方程为2 2 22 2 x y b   焦点坐标为    1 2,0 , ,0 F b F b 

 (1)当 AB AC 、

 的斜率都存在时,设  0 0, A x y

 ,    1 1 2 2, , , B x y C x y , 则直线 的方程为  00yy x bx b ,代入椭圆方程得    2 2 2 20 0 0 03 2 2 0 b bx y by x b y b y     

 .2 200 2203 2b yy yb bx  . 又20 022 23 2AFy b xF C y b  .同理013 2.b xb

 1 26      .……10 分 (2)若 AC x  轴,则2 13 21, 5b bb    ,这时1 26     . 若 AB x  轴,则1 21, 5     这时也有1 26     .综上所述,1 2   是定值 6. 3.解:(1)椭圆的方程为2 21443x y . (2)由(1)可得 (1,1) C , ( 1, 1) B   ,由( , ) P x y 在椭圆上,可得2 2314 4x y  , 所以2222 2 2411 13 4 1 1 1 13 31 1 1 1 1 3PB PCxxy y yk kx x x x x                , 即PB PCk k 是定值,定值为13 . 4.解:(Ⅰ)

 椭圆22: 14xC y  . (Ⅱ)设直线 MN 的方程为y kx t  , 1 1, M x y, 2 2, N x y,  2 2 222,4 1 8 4 4 01,4y kx tk x ktx txy        , 1 2284 1ktx xk  ,21 224 44 1tx xk,   1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 21 21 14 0 4 04 4y yk k y y x x kx t kx t x xx x            ,

    2 21 2 1 24 1 4 4 0 k x x kt x x t     ,  22 2 2 22 24 4 84 1 4 4 0 2 4 14 1 4 1t ktk kt t t kk k           ,        2 22 21 2 1 2 1 21 1 4 MN k x x k x x x x          22 222 2 28 4 4 11 4 2 24 1 4 1 4 1kt t kkk k k              , ,222 212 2 14 11 2t t kSkk t   .OMN  ∴的面积为定值 1. 5.解:(1)12e  ,即12ca , 2 a c  ,不妨令椭圆方程为2 22 214 3x yc c  , 当 xc 时,32y  ,得出 1 c  ,所以椭圆的方程为2 214 3x y  . (2)令直线方程为  by x ma  与椭圆交于  1 1, A x y ,  2 2, B x y 两点, 联立方程 2 22 21by x max ya b  得2 2 2 2 2 2 22 2 b x b mx b m a b   , 即2 2 22 2 0 x mx m a    ,∴1 2x x m   ,2 21 22m ax x , ∴2 2PA PB 

    2 22 21 1 2 2x m y x m y      

  22121bx ma       22221bx ma         22 21 221bx m x ma           2 22 21 22a bx xa 

  2 221 2 1 222a bx x x xa     2 2a b  为定值. 6.(1)解:设    0 0, , , M x y P x y ,则  0 ,0Q x .    0 00, , , PQ y MQ x x y       . 21tdk

 4 3 2 PQ MQ 

   000 3 24 3 2x xy y      解得003 24x xyy 

  0 0, P x y

 在2 29 x y   上,

 223 294yx      ,整理得2 219 8x y+ =

 故动点 M 的轨迹 E 的方程为2 219 8x y+ = . (2)解:由题意知, l 的斜率不为 0,则设 : 1 l x my   ,    1 1 2 2, , , A x y B x y

 , 与曲线 E 方程联立得2 2119 8x myx y    ,整理得  2 28 9 16 64 0 m y my    

  则1 2 1 22 216 64,8 9 8 9my y y ym m       1 2 1 24 my y y y   

  直线 AG 的斜率1113ykx,直线 BH 的斜率2223ykx 此时    1 2 1 21 1 2 1 1 2 12 2 1 2 1 1 2 2 1 2 23 2 2 4 4 2 13 4 4 4 4 4 2y x y my k my y y y y yk y x y my my y y y y y            

 所以直线 AG 与 BH 的斜率之比是定值,为12. 7.解:(1)2 29 16 1 x y  

  (2)当直线 l x  轴时,因为直线与圆相切,所以直线 l 方程为15x  

  当1:5l x  时,得 M、N 两点坐标分别为1 1 1 1, , ,5 5 5 5         , 0,2OM ON MON    

  当1:5l x   时,同理2MON  ;

  当 l 与 x 轴不垂直时, 设    1 1 2 2: , , , , l y kx m M x y N x y   ,由2151mdk , 2 225 1 m k   ,

 联立2 29 16 1y kx mx y   得  2 2 29 16 32 16 1 0 k x kmx m     

      22 21 223232 4 9 16 16 1 0,9 16kmkm k m x xk        ,21 2216 19 16mx xk,

    2 21 2 1 2 1 2 1 21 OM ON x x y y k x x km x x m          =2 2225 109 16m kk 

  2MON 

  综上,2MON  (定值)

 8.解(1)椭圆的方程为2 214 3x y  .

 (2)设1 1 2 2( , ), ( , ) M x y N x y ,当直线 MN 的斜率存在时,设方程为 y kx m   , 由2 214 3x yy kx m   ,消 y 可得,2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0 k x kmx m     

  则有2 2 2 2 2 264 4(3 4 )(4 12) 48(4 3) 0 k m k m k m          ,即2 24 3 m k  , 21 2 1 22 28 4 12,3 4 3 4km mx x x xk k    , 所以2 2 21 2 1 2 1 21 1 ( ) 4 MN k x x k x x x x       

 22 22 28 4 121 ( ) 43 4 3 4km mkk k      22 224 3 14 33 4kk mk  .

 点 O 到直线 MN 的距离2| |1mdk, 所以2 221 2 3 | || | 4 32 3 4MONmS MN d k mk   .

  又因为1 21 21 234y yk kx x   ,

 所以22 2221 2 1 221 228( )( ) 33 44 12 43 4kmkm mk x x km x x mkkm x xk     , 化简可得2 22 4 3 m k   ,满足  ,

 代入MONS  22 22 22 3 | | 2 34 3 33 4 2m mk mk m   ,

 当直线 MN 的斜率不存在时,由于1 234k k   ,考虑到 , OM ON 关于 x 轴对称,不妨设1 23 3,2 2k k    ,则点, M N 的坐标分别为6 6( 2, ), ( 2, )2 2M N , 此时12 6= 32MONS     , 综上, MON  的面积为定值 3 .

  法二:设1 1 2 2(2cos , 3sin ), (2cos , 3sin ) M N     , 由题意1 2 1 21 21 2 1 23sin sin 34cos cos 4y yk kx x      ,可得1 2cos( ) 0     ,

 所以1 2( )2k k      Z ,

 而1 2 2 11|2 3cos sin 2 3cos sin |2MONS      

 1 23|sin( )|    

 因为1 22k      ,所以1 2sin( = 1     )

 ,故MONS  3 为定值. 9.解:(1)椭圆 E 的方程为:2 214 2x y  . (2)设  0 0, M x y ,    : 2 0 AM y k x k    , 令 0 x  ,解得 2 y k  ,∴   0,2 C k . 联立 2 222 4y k xx y   ,化简得:

    2 2 2 22 1 8 8 4 0 0 k x k x k k       . ∴2028 422 1kxk ,解得2022 42 1kxk.

 ∴0242 1kyk,即22 22 4 4,2 1 2 1k kMk k     . ∴直线 BM 的斜率=222412 12 4 222 1kkk kk . ∴ BM 的方程:

  122y xk   ,令 0 x  ,解得1yk ,∴10, Dk   . 设  0,NN x y ,则  0,2NNC x k y    ,01,NND x yk     . ∴22 20 02 12NkNC ND x y yk     . ∵2 20 0242,2 1Nkx y yk  , ∴0 NC ND  ,∴ NC ND  ,即90 CND    . ∴ sin 1 CND   为定值. 10. 解:

 (1)椭圆方程为2212xy   .

 (2)设    1 1 2 2, , , A x y B x y ,由0 OA OB  , 可知1 2 1 20 x x y y   . 联立方程组22,{1,2y kx mxy   消去 y 化简整理得  2 2 21 2 4 2 2 0 k x kmx m      , 由   2 2 2 216 8 1 1 2 0 k m m k       ,得2 21 2k m  ,所以1 2241 2kmx xk  ,21 222 21 2mx xk,③ 又由题知1 2 1 20 x x y y   , 即   1 2 1 20 x x kx m kx m     ,

 整理为    2 21 2 1 21 0 k x x km x x m      . 将③代入上式,得 22 22 22 2 41 01 2 1 2m kmk km mk k     . 化简整理得2 223 2 201 2m kk ,从而得到2 23 2 2 m k  .

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